Question

矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE平分角ABC,交AC于E点,交CD于F点,且角OBF=15度,求证：OE=

Answer 1

题目有误,应该是 求证：EF=OF吧?证明 EF=OF：如图,因为 ∠OBF=15度,∠FBC=45度所以 ∠DBC=∠ACB=60度,∠BDC=∠ACD=30度△OCB是等边三角形设 BC=AD=a,那么 OB=OC=a,CF=a,AB=DC=√3/2*a,BD=2a在△OCF中,已知 ∠OCF=30度,CF=a,OC=a根据余弦定理,OF^2=(1+1-2cos30)*a^2=(2-√3)a^2在△EFC中,已知 ∠EFC=45度,∠ECF=30度,CF=a过E做CF垂线,交CF于P点,设FP=x那么 EP=x,CP=√3x由 FP+CP=a,求得 x=a/(1+√3)=(√3-1)*a/2 因此 EF^2=2[(√3-1)*a/2]^2=a^2/2[3+1-2√3]=(2-√3)a^2=OF^2即 EF=OF 得证!