解题思路:根据对数函数的性质进行解题,在解题过程中注意对a要分a>1时,|f(x)|=f(x)=logax在[3,+∞)上为增函数和0<a<1时f(x)|=-f(x)=-logax在[3,+∞)上为增函数两种情况进行讨论.
当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0.
所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在[3,+∞)上为增函数,
∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥loga3.
因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立.
只要loga3≥1=logaa即可,∴1<a≤3.
当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0,
∴|f(x)|=-f(x).
∵f(x)=logax在[3,+∞)上为减函数,
∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数.
∴对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.
因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立,
只要-loga3≥1成立即可,
∴loga3≤-1=loga[1/a],即[1/a]≤3,∴[1/3]≤a<1.
综上,使|f(x)|≥1对任意x∈[3,+∞)都成立的a的取值范围是:(1,3]∪[[1/3],1).
点评:
本题考点: 对数函数图象与性质的综合应用;函数恒成立问题.
考点点评: 在函数f(x)=logax(a>0,a≠1)中,对a要分a>1和0<a<1两种情况进行讨论,以避免丢解.