Question

已知α、β都是锐角，且sinβ=sinαcos（α+β）．

Answer 1

解题思路：（1）将α+β=[π/4]代入已知等式，并且以[π/4]-β代替α，化简整理可得β的正弦和余弦的关系，利用同角三角函数的商数关系，可得tanβ的值；

（2）用两角和的余弦公式将已知等式展开，再在两边都除以cosβ，得tanβ关于α的正弦和余弦的分式表达式，用同角三角函数的关系将此式化成并于tanα的表达式，最后用基本不等式求出tanβ取最大值，从而得到此时的tan（α+β）的值．

（1）∵α+β=[π/4]，且sinβ=sinαcos（α+β）．

∴sinβ=

2

2sin（[π/4]-β），整理得[3/2]sinβ-[1/2]cosβ=0，

∵β为锐角，

∴tanβ=[sinβ/cosβ]=[1/3]．

（2）由题意，得sinβ=sinαcosαcosβ-sin²αsinβ，

两边都除以cosβ，得tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，

∴tanβ=[sinαcosα

1+sin2α=

sinαcosα

2sin2α+cos2α=

tanα

2tan2α+1=

1

2tanα+

1/tanα]

∵α是锐角，∴2tanα+[1/tanα]≥2

2tanα•

1

tanα=2

2

因此，tanβ=[1

2tanα+

1/tanα]≤

1

2

点评：

本题考点： 两角和与差的正切函数．

考点点评： 本题给出α、β的正弦余弦的表达式，求β的正切最大值并求此时α+β的正切值，着重考查了两角和与差的余弦、两角和的正切公式和同角三角函数的关系等知识，属于基础题．