Question

（2012•广元三模）过抛物线y＝14x2 的准线上任意一点作抛物线的两条切线，，若切点分别为M、N，则直线M

Answer 1

解题思路：设M（x₁，

x

1

2

4

），N（x₂，

x

2

2

4

），Q（x₀，-1），由k_MQ=

x

1

2

，知

x

1

2

-2x₁x+4y=0．由此能推导出直线MN过点（0，1）．

设M（x1，

x21

4），N（x₂，

x22

4），Q（x0，-1），

∵y=[1/4]x²，

∴y′=[1/2]x，

∴切线MQ的斜率为：k_MQ=

x1

2，

∴MQ的方程为y-

x12

4=

x1

2（x-x₁），

∴x12-2x₁x+4y=0．（8分）

∵MQ过Q（x₀，-1），

∴x12-2x₁x₀-4=0，

同理x22-2x₂x₀-4=0，

∴x₁，x₂为方程x²-2xx₀-4=0的两个根，

∴x₁x₂=-4．（10分）

又k_MN=

x22

4−

x12

4

x2−x1=

x1+x2

4，

∴MN的方程为y-

x12

4=

x1+x2

4（x-x₁），

∴y=

x1+x2

4x+1，

所以直线MN过点（0，1）．（12分）

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，分析得到x1，x2为方程x2-2xx0-4=0的两个根是关键，解题时要注意合理地进行等价转化，属于难题．