Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0．

Answer 1

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），

令x=y=1，

则F（1）=2f（1）

∴f（1）=0； （5分）

证明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）

可得 f(

y

x )=f(y)-f(x) ，

设x ₁＞x ₂＞0， f( x 1 )-f( x 2 )=f(

x 1

x 2 ) ，

x 1

x 2 ＞1 ，

∴ f(

x 1

x 2 )＜0 ，即f（x ₁）-f（x ₂）＜0

∴f（x ₁）＜f（x ₂），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（10分）

（3）因为f（k•3 ^x）-f（9 ^x-3 ^x+1）≥f（1），

所以f（k•3 ^x）≥f（9 ^x-3 ^x+1），由（2）得

k• 3 x ≤ 9 x - 3 x +1

k• 3 x ＞0 （*）恒成立，

令t=3 ^x＞0，则（*）可化为t ²-（k+1）t+1≥0对任意t＞0恒成立，且k＞0，

∴（k+1） ²-4≤0

∴0＜k≤1．（15分）