Question

利用二重积分的定义证明∫∫dσ=σ(σ是D的面积)

Answer 1

设函数 f(x)恒等于1,

由定义,

1、分割D,每小块记作σi,其面积不妨也记作σi

2、取点ξi∈σi,

3、作和 ∑f(ξi)σi

要注意的是,此时由于f(ξi)恒为1,因此∑f(ξi)σi=∑σi=σ（所有小块面积的和D的面积σ）

换句话说 和∑f(ξi)σi不管怎么分割,不管怎么取点,都恒为常数σ

4、因为∑f(ξi)σi恒为常数σ,因此极限亦必为σ

即∫∫dσ=σ

证毕.