Question

一道几何问题.如图,△ABC为等边三角形,D为BC上任一点,∠ADE=60°,边DE与∠ACB外角的平分线相交于点E.（

Answer 1

(1）证明：

如图,在AB上截取BH=BD

∵⊿ABC是等边三角形

∴∠B=60º,ZB＝AC,∠ACB＝60º

又∵BH=BD

∴AH=DC

∵CE平分∠ACB的外角,且∠ACB=60º

∴∠ACE＝60º

∴∠DCE＝∠ACB＋∠ACE＝120º

∵∠B＝60º,BH=BD

∴⊿BHD是等边三角形

∴∠BHD=60º

∴∠AHD＝60º

∴∠AHD=∠DCE

∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC

且∠ADC＝∠HAD＋∠B

∴∠ADE＋∠EDC＝∠HAD＋∠B

又∵∠ADE＝∠B＝60º

∴∠HAD＝∠EDC

在⊿AHD与⊿DCE中

﹛∠HAD＝∠EDC

﹛∠AHD=∠DCE

﹛AH=DC

∴⊿AHD≌⊿DCE﹙AAS﹚

∴AD＝DE

﹙2﹚

不变,如图,在AB的延长线上截取BH=BD

∵⊿ABC是等边三角形

∴∠2＝∠1＝60º,AB=BC,∠ABC=60º

又∵BH=BD

∴AH=CD且⊿BDH是等边三角形

∴∠H＝60º,∠BDH＝60º

又∵CE平分∠ACB的外角,且∠ACB＝60º

∴∠3＝60º

∴∠3＝∠H

∵∠ADH=∠ADE＋∠BDH﹣∠4＝120º－∠4

且∠DEC＝180º－∠3－∠4＝120º－∠4

∴∠ADH＝∠DEC

∴在⊿AHD与⊿DCE中

﹛∠3＝∠H

﹛∠ADH＝∠DEC

﹛AH=CD

∴⊿AHD≌⊿DCE﹙AAS﹚

∴AD=DE