如图已知梯形ABCD中,AB∥DC,BD⊥AC于E,AD=BC,DF⊥AB于F,AC,DF相交于DF的中点O

1个回答

  • 是这个图吗

    证明:(1)连接OG.(这个辅助线自己连一下吧,只能插一个图)

    ∵O为DF中点,

    ∴DO=OF,

    又∵AB∥CD且DF⊥AB,

    ∴∠ODC=∠OFA.

    ∴在△ODC和△OFA中,

    ∴△ODC≌△OFA.

    ∴CD=AF=3.

    又∵FG=4,

    ∴AG=AF+FG=7=CG.

    即:AG=CG.

    又∵△ODC≌△OFA,

    ∴OA=OC.

    ∵AG=CG,

    ∴OG为∠AGC的角平分线.

    ∵OF⊥AG,ON⊥CG,

    ∴OF=OH.

    (2)过D作DM∥AC交BA的延长线于M.

    ∵梯形ABCS中,AD=BC,

    ∴BD=AC.

    又∵CD∥AM,DM∥AC,

    ∴四边形CDMA为平行四边形.

    ∴DM=AC,CD=AM.

    ∵MD∥AC,又AC⊥BD,且AC=BD,

    ∴DM⊥BD,DM=BD,

    ∴△DMB为等腰直角三角形.

    又∵DF⊥BM,

    ∴DF=BF.

    ∴BM=2DF=2BF

    ∴AM+AB=2BF.

    ∵CD=AM,

    ∴AB+CD=2BF.

    ∵AC=BD=AB,

    ∴在△BEA和△BFD中,△BEA≌△BFD.

    ∴BE=BF.

    ∵AB+CD=2BF,

    ∴AB+CD=2BE.