Question

已知函数f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数．求证：函数F（x）=f（x）-g（x）在R上是增函数．

Answer 1

解题思路：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则由于f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数，有f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＞g（x₂），

从而F（x₁）-F（x₂）＜0，进而F（x₁）＜F（x₂）．

任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

则由于f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数，

有f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＞g（x₂），

∴F（x₁）-F（x₂）=[f（x₁）-g（x₁）]-[f（x₂）-g（x₂）]

=[f（x₁）-f（x₂）]-[g（x₁）-g（x₂）]

＜0，

∴F（x₁）＜F（x₂）

∴函数F（x）在R上是增函数．

点评：

本题考点： 函数单调性的性质．

考点点评： 本题考察了函数的单调性，函数的单调性的证明，是一道基础题．