已知(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,求实数m的范围.

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  • 解题思路:此题要分两种情况:①当m2+4m-5=0时,解出m的值,进行验证;②当m2+4m-5=0时,根据二次函数的性质,要求二次函数的开口向上,与x轴无交点,即△<0,综合①②两种情况求出实数m的范围.

    ①当m2+4m-5=0时,得m=1或m=-5,∵m=1时,原式可化为3>0,恒成立,符合题意

    当m=-5时,原式可化为:24x+3>0,对一切实数x不恒成立,故舍去;

    ∴m=1;

    ②m2+4m-5≠0时即m≠1,且m≠-5,

    ∵(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立

    ∴有

    m2+4m−5>0

    △=16(m−1)2−12(m2+4m−5)<0

    解得1<m<19…(5分)

    综上得 1≤m<19…(2分)

    点评:

    本题考点: 二次函数的性质.

    考点点评: 此题主要考查了二次函数的基本性质,以及分类讨论的思想,此题易错点为讨论m2+4m-5与0的关系,如果等于0,就不是二次函数了,这一点很重要;