Question

（1）已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），求证： a 2 x + b 2 y ≥ (a+b) 2 x+y

Answer 1

（1）应用二元均值不等式，得 (

a 2

x +

b 2

y )(x+y)= a 2 + b 2 + a 2

y

x + b 2

x

y ≥ a 2 + b 2 +2

a 2

y

x b 2

x

y =（a+b） ²，

故

a 2

x +

b 2

y ≥

(a+b) 2

x+y ．

当且仅当 a 2

y

x = b 2

x

y ，即

a

x =

b

y 时上式取等号．

（2）由（1） f(x)=

2 2

2x +

3 2

1-2x ≥

(2+3) 2

2x+(1-2x) =25 ．

当且仅当

2

2x =

3

1-2x ，即 x=

1

5 时上式取最小值，即[f（x）] _min=25．