这个题目如果用高等数学的求导来解的话很简单.下面用中等数学的方法
[(1+αx)^(1/m)-(1+βx)^(1/n)]/x=
[(1+αx)^(1/m)-1]/x - [(1+βx)^(1/n)-1]/x=
α[(1+αx)^(1/m)-1]/[(1+αx)-1] - β[(1+βx)^(1/n)-1]/[(1+βx)-1]
利用x^n-1=(x-1)(1+x+x^2+...+x^(n-1))这个公式有：
(1+αx)-1=[(1+αx)^(1/m)-1][1+(1+αx)^(1/m)+(1+αx)^(2/m)+...+(1+αx)^((m-1)/m)]
(1+βx)-1=[(1+βx)^(1/n)-1][1+(1+βx)^(1/n)+(1+βx)^(2/n)+...+(1+βx)^((n-1)/n)]
于是,当x->0时：
[(1+αx)^(1/m)-1]/[(1+αx)-1]=1/[1+(1+αx)^(1/m)+(1+αx)^(2/m)+...+(1+αx)^((m-1)/m)]->1/m
[(1+βx)^(1/n)-1]/[(1+βx)-1]=1/[1+(1+βx)^(1/n)+(1+βx)^(2/n)+...+(1+βx)^((n-1)/n)]->1/n
故原题的结果是α/m - β/n
对补充的回复：
中等解法,没用洛必达法则