等比数列{an}首项a1=2公比为q,且满足3a3是8a1与a5的等差中项,数列{bn}满足2n^2-(t+bn)n+3

2个回答

  • (1)因为6a3=8a1+a5,所以6q2=8+q4,

    解得q2=4或q2=2(舍),则q=2

    又a2=2,所以an=2n

    (2)由2n2-(t+bn)n+32bn=0,得bn=2n2-tnn-32,

    所以b1=2t-4,b2=16-4t,b3=12-2t,

    则由b1+b3=2b2,得t=3

    而当t=3时,bn=2n,由bn+1-bn=2(常数)知此时数列{bn}为等差数列;

    (3)因为c1=c2=c3=2,易知m=1不合题意,m=2适合题意

    当m≥3时,若后添入的数2等于cm+1个,则一定不适合题意,

    从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1,

    则(2+22+23+…+2k)+2(b1+b2+b3+…+bk)=2×2k+1,

    即2×(2k-1)+(2+2k)k2×2=2×2k+1,即2k+1-2k2-2k+2=0.

    也就是2k=k2+k-1,

    易证k=1,2,3,4不是该方程的解,而当n≥5时,2n>n2+n-1成立,证明如下:

    1°当n=5时,25=32,k2+k-1=29,左边>右边成立;

    2°假设n=k时,2k>k2+k-1成立,

    当n=k+1时,2k+1>2k2+2k-2=(k+1)2+(k+1)-1+k2-k-3

    ≥(k+1)2+(k+1)-1+5k-k-3=(k+1)2+(k+1)-1+k+3(k-1)>(k+1)2+(k+1)-1

    这就是说,当n=k+1时,结论成立.

    由1°,2°可知,2n>n2+n-1(n≥5)时恒成立,故2k=k2+k-1无正整数解.

    综上可知,满足题意的正整数仅有m=2.