Question

无限纯循环小数化为分数,分母的每一位数都是9,为什么?（证明过程或推导过程）

Answer 1

这涉及到数列的知识,不知道你学过没有

设循环位数为k,到第一个循环为止的值a

例如：对0.142857142857…,有k=6,a=0.142857

则无限循环小数可以写成以下数列所有项的和

首项a1=a,公比q=10^(-k)的等比数列

例如：0.142857142857…=0.142857+0.000000142857+...

有公式可以计算出公比绝对值小于1的等比数列所有项的和S

S=a1/(1-q)=a/[1-10^(-k)]=a*10^k/(10^k-1)

例如：0.142857142857…=0.142857*1000000/(1000000-1)=142857/999999

不知道看明白没有

想到一个更简单的说明方法

设X=0.142857142857… (1)式

两边同时乘以1000000,得

1000000X=142857.142857142857… (2)式

用(2)式-(1)式,得

1000000X-X=(142857.142857142857…)-(0.142857142857…)

即

999999X=142857

所以

X=142857/999999