Question

若点O是三角形ABC的外心,且向量OA+向量OB=向量OC,则三角形ABC的内角C的度 数为

Answer 1

因为 O 是三角形 ABC 的外心,所以 |OA|=|OB|=|OC|=r (r 为三角形 ABC 外接圆的半径) ,

由 OC=OA+OB 两边平方得 r^2=r^2+r^2+2OA*OB ,

解得 OA*OB= -r^2/2 ,

由于 |BC|=|OC-OB|=|OA|=r ,|AC|=|OC-OA|=|OB|=r ,

且 BC*AC=(OC-OB)*(OC-OA)=OC^2-OC*(OA+OB)+OA*OB=OA*OB= -r^2/2 ,

所以 cos∠ACB=CA*CB/(|CA|*|CB|)=BC*AC/(|AC|*|BC|)= (-r^2/2)/(r*r)= -1/2 ,

因此 ∠ACB=120° .