先在纸上画草图,设原点为O
设过点A（1,1）且斜率为-m(m>0)的直线L方程为
Y=-mX+b 代入A点坐标得 b=m=1
则过点A（1,1）且斜率为-m(m>0)的直线L方程为
Y=-mX+m+1
令X=0得 Q点坐标（0,m+1）
令Y=0得 P点坐标[(m+1/m）,0]
则过Q点做直线2X＋Y＝0的垂线方程为
Y=X/2+m+1
则过P点做直线2X＋Y＝0的垂线方程为
Y=X/2-(m+1)/(2m)
将两方程分别与2X＋Y＝0联立解得
S点横坐标:-2/(5m+5)
R点纵坐标:-2(m+1)/(5m)
将总面积分为三角形POR 三角形PQO 三角形QSO
S三角形POR用R点纵坐标的绝对值和P点横坐标求
S三角形PQO用Q点纵坐标和P点横坐标求
S三角形QSO用Q点纵坐标和S点横坐标的绝对值求
(不好打,自己从上边找吧,注意2个绝对值)
因此可以用m一个未知量表示S:
S=(m+1)^2/2m +(m+1)^2/5 +(m+1)^2/(5m^2)
将分子中的(m+1)^2展开并除以分母
得S=m/2+1+1/(2m)+m^2/5+2m/5+1/5+1/5+2/(5m)+1/(5m^2)
=7/5+m/2+1/(2m)+m^2/5+1/(5m^2)+2m/5+2/5m
除了常数就是三对均值不等式
由此可得m=1时取得S的最小值 18/5
注意m的定义域为m>0
解得S最小=18/5