（1）∵函数 f(x)= x 3 -tx+
t-1
2 ，t∈R ，∴f ′（x）=3x 2-t．
1°若t≤0，则f ′（x）≥0（不恒等于0）在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递增；
2°若t≥3时，∵3x 2≤3，∴f ′（x）≤0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递减；
3°若0＜t＜3，则 f ′ (x)=3(x+
t
3 )(x-
t
3 ) ，令f ′（x）=0，解得 x=
t
3 ，
当 x∈[0，
t
3 ) 时，f ′（x）＜0，∴f（x）在 x∈[0，
t
3 ) 上单调递减；
当 x∈(
t
3 ，1] 时，f ′（x）＞0，∴f（x）在 x∈(
t
3 ，1] 上单调递增．
（2） f(x)+|
t-1
2 |+h≥0 ⇔ f(x)+|
t-1
2 |≥-h ，因此，只需求出当x∈[0，1]，t∈R时， f(x)+|
t-1
2 | 的最小值即可．
方法一：令g（x）=f（x）+ |
t-1
2 | ，x∈[0，1]，
而g ′（x）=f ′（x），由（1）的结论可知：
当t≤0或t≥3时，则g（x）在[0，1]上单调，故g（x） min=min{g（0），g（1）}=min{
t-1
2 +|
t-1
2 | ，
1-t
2 +|
t-1
2 | }=0．
当0＜t＜3时，则 g(x ) min =g(
t
3 ) =-
2
3 t
t
3 +
t-1
2 +|
t-1
2 | ．
∴h（t）=
0，当t≤0或t≥3时
-
2
3 t
t
3 +
t-1
2 +|
t-1
2 |，当0＜t＜3时 ．
下面求当t∈R时，关于t的函数h（t）的最小值．
当t∈（0，1）时，h（t）= -
2t
3
t
3 在（0，1）上单调递减；
当1＜t＜3时，h（t）= -
2t
3
t
3 +t-1 ， h ′ (t)=1-
t
3 ＞0，∴h（t）在（1，3）上单调递增．又h（t）在t=1处连续，故h（t）在t∈（0，3）上的最小值是h（1）=-
2
3
9 ．
综上可知：当t∈[0，1]且t∈R时， f(x)+|
t-1
2 | 的最小值为 m=-
2
3
9 ，即得h的最小值为-m=
2
3
9 ．
方法2：对于给定的x∈[0，1]，求关于t的函数（t∈R），
g（t）=f（x）+ |
t-1
2 | =-xt+
t-1
2 +|
t-1
2 | +x 3=
-xt+ x 3 ，当t＜1时
(1-x)t+ x 3 -1，当t≥1时 的最小值．
由于-x≤0，当t∈（-∞，1）时，g ′（t）≤0；由于1-x≥0，故当t∈（1，+∞）时，g ′（t）≥0．
考虑到g（t）在t=1处连续，∴g（t）的最小值h（x）=x 3-x．
下面再求关于x的函数h（x）=x 3-x在x∈[0，1]时的最小值．
h ′（x）=3x 2-1，令h ′（x）=0，解得 x=
3
3 ．
当 x∈(0，
3
3 ) 时，h ′（x）＜0，函数h（x）在此区间上单调递减；当 x∈(
3
3 ，1) 时，h ′（x）＞0，函数h（x）在此区间上单调递增．
故h（x）的最小值为 h(
3
3 )=-
2
3
9 ．
综上可得：当x∈（0，1）时，且t∈R. f(x)+|
t-1
2 | 的最小值m=-
2
3
9 ，即得h的最小值为-m=
2
3
9 ．