Question

如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.（II）证明：平面ABM

Answer 1

因为C1D1∥B1A1,所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角,

因为A1B1⊥平面BCC1B1,所以∠A1B1M=90°,

而A1B1=1,B1M=根号2

故tan∠MA1B1=根号2,

即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为根号2.

(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1,BM平面BCC1B1,得A1B1⊥BM,　①

由(1)知,B1M=根号2,

又BM=根号2,B1B=2,所以,

从而BM⊥B1M,　②

又A1B1∩B1M=B1,再由①②得BM⊥平面A1B1M,

而BM平面ABM,

因此平面ABM⊥平面A1B1M.