我先给你翻译一遍题：
“向量NP/向量NP的模长+向量NQ/向量NQ的模长”是∠PNQ的角平分线的方向向量.
所以“向量NP/向量NP的模长+向量NQ/向量NQ的模长)点乘向量F1F2=0”这个就意味着∠PNQ的角平分线垂直于x轴.（有点数学向量功底的应该都能理解这个）
所以kNP与kNQ互为相反数（k是直线的斜率）
“求证：向量PQ与向量AM共线”即：求证AM∥PQ
咱们学数学不要拘泥于做对某一道特殊的题,要透过现象看本质,找出普遍的、一般的规律,再应用于特殊.下面给你证明一个椭圆的规律：
已知定椭圆x方/a方+y方/b方=1(a＞b＞0)上有两个定点N(m,n)和M(-m,n),也有两个动点PQ,满足NM平分∠PNQ,求证：①EF中点G一定在OM上②EF的斜率为定值
证明：
设P(xP,yP),Q(xQ,yQ)
因为它们都在椭圆上,所以“
xP方/a方+yP方/b方=1
xQ方/a方+yQ方/b方=1
两式相减得：(xP方-xQ方)/a方=-(yP方-yQ方)/b方
平方差得：[(yP+yQ)/(xP+xQ)][(yP-yQ)/(xP-xQ)]=-b方/a方
因为G坐标是((xP+xQ)/2,(yP+yQ)/2)
所以kOG=(yP+yQ)/(xP+xQ)
又因为kPQ=(yP-yQ)/(xP-xQ)
所以证得：kOG乘kPQ=-b方/a方,为定值
由NM平分∠PNQ得kPN+kQp=0
所以设kPN=k,kQN=-k
则PN解析式：y=k(x-m)+n
QN解析式：y=-k(x-m)+n
PN与椭圆方程联立得
(a方k方+b方)x+2a方(nk-mk方)x+a方(m方k方-2mnk+n方-b方)=0
此方程的两解分别对应P和N的横坐标xP和xN,又已知xN=m
可用韦达定理求得xP,进而求得yP
把xP与yP中的所有k代成-k,即xQ与yQ
kOG=(yP+yQ)/(xP+xQ)=-n/m
恰好约掉了k,即kOG与k的取值无关,为定值
因为M(-m,n),所以G一定在OM上,命题①得证
因为kOG乘kPQ=-b方/a方
所以kPQ=b方m/a方n,也是与EF具体位置无关的定值
命题②得证
这个规律是我在做题中发现的,当时题目给的是具体的数,而不是代表普遍规律的字母,让证明PQ是定值,证出来了以后,我并未停止探究,而是继续探究看看有没有普遍规律,结果经过一系列复杂的计算,发现真的适用于普遍.
再给你介绍一个方法：还系法.
因为椭圆并不是高度对称的几何图形,所以在用它来研究具体问题的时候必须借助坐标系.而圆就不是了,没有坐标系也能研究.所以我们可以把椭圆放在一个新的坐标系里,使它变成圆.
建立新的坐标系：x-t坐标系,其中t=by/a
则椭圆x方/a方+y方/b方=1在x-t坐标系中的解析式变成了一个圆：x方+y方=a方
x-y坐标系中所有以k为斜率的直线在x-t坐标系中的斜率都变成了k'=t/x=ak/b
所以只要证明直线PQ在x-t坐标系中的斜率为定值,即可说明PQ在x-y坐标系中的斜率为定值了.
用圆证明非常简单,不用计算,只需几何证明,这个留给你自己想吧
好,下面回到你的这道题.
由已知条件极易求得
a方=4
b方=4/3
c方=8/3
所以A(2,0)
联立y=x解得N(1,1),M(-1,-1)
所以kAM=-1/3
因为∠PNQ的角平分线垂直于x轴
所以kPQ为定值b方m/a方n,此时m=1,n=1,a方=4,b方=4/3
即带入得kPQ=-1/3为定值
kAM=kPQ=-1/3
即AM∥PQ得证
学数学要有钻研的精神,