Question

如图，在正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证：∠DAE=[1/2]∠BAF．

Answer 1

解题思路：作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2即可，求证Rt△ABG≌Rt△ADE即可得∠DAE=∠2．

证明：如图，作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，

∴FA=FH．

设正方形边长为a，在Rt△ADF中，

AF²=AD²+DF²=a²+（[3a/4]）²=[25/16]a²，

∴AF=[5/4]a=FH．

∴CH=FH-FC=[5/4]a-[a/4]=a，

∴HC=AB．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠BCD=∠BCH=90°．

在△ABG和△HCG中，

∠B＝∠BCH

AB＝HC

∠2＝∠3

∴△ABG≌△HCG（AAS），

∴GB=GC=DE=[1/2]a．

∴∠DAE=∠2=[1/2]∠BAF．

点评：

本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的判定和对应边相等性质，本题中正确的求Rt△ABG≌Rt△ADE是解题的关键．