将z改写为z=2(x-2)^2-2y+1 得y=(x-2)^2+(1-z)/2
求z的范围,也就是找出抛物线y=(x-2)^2在给定的椭圆范围内能够平移的范围,即(1-z)/2的范围
从几何图像上不难得到(1-z)/2取最大值和最小值时,抛物线y=(x-2)^2+(1-z)/2与椭圆是相切的,而切点处斜率相等,所以下面利用一下导数
抛物线dy/dx=2(x-2) (1)
椭圆4x+2y*dy/dx=0 dy/dx=-2x/y=-2x/±√1-2x^2 (2)
联立(1),(2) 得2(x-2)=-2x/±√1-2x^2
整理得x^4-4x^3+4x^2+2x-2=0
解得x1=0.6285,y1=0.4582时,z的最小值为3.8456
x2=-0.6838,y2=-0.2548时,z的最大值为15.9148