解题思路：（I）利用点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象，结合新定义，可得数列{2an+1}是“平方递推数列”，两边取对数，即可证得数列{lg（2an+1）}为首项是lg5公比为2的等比数列；（II）由题意，lg(2an+1)＝[lg(2a1+1)]×2n−1＝2n−1lg5＝lg52n−1，从而可得数列{an}的通项，进而先求对数的和，即可求得结论；（III）确定数列{bn}的通项，利用等比数列的求和公式可结论．
（I）证明：因为an+1＝2an2+2an，2an+1+1＝2(2an2+2an)+1＝(2an+1)2
所以数列{2an+1}是“平方递推数列”．--------（2分）
由以上结论lg(2an+1+1)＝lg(2an+1)2＝2lg(2an+1)，
所以数列{lg（2an+1）}为首项是lg5公比为2的等比数列．--------（4分）
（II）由题意，lg(2an+1)＝[lg(2a1+1)]×2n−1＝2n−1lg5＝lg52n−1，
∴2an+1＝52n−1，an＝
1
2(52n−1−1)．--------（6分）
∴lgTn＝lg(2a1+1)+…+lg(2an+1)＝(2n−1)lg5，
∴Tn＝52n−1．--------（9分）
（III）bn＝
lgTn
lg(2an+1)＝
(2n−1)lg5
2n−1lg5＝2−
1
2n−1，
∴数列{bn}的前n项和Sn＝2n−2+
1
2n−1．--------（13分）
[注：若有其它解法，请酌情给分]
点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定；数列递推式．
考点点评： 本题考查新定义，考查数列的通项与求和，解题的关键是正确理解新定义，属于中档题．