Question

（2001•济南）如图1，已知⊙O和⊙O′都经过点A和点B，直线PQ切⊙O于点P，交⊙O′于点Q、M，交AB的延长线于点

Answer 1

解题思路：（1）由PQ切⊙O于P，即可得PN²=NB•NA，又由NB•NA=NM•NQ，即可证得PN²=NM•NQ；

（2）由PM=MQ=x，MN=y，PN²=NM•NQ，即可得x²=3xy，即可得x=3y；

（3）同理可得：①在图2、图3、图4中（1）题结论都成立；②在图2中（2）题结论成立．在图3、图4中，按题意改变条件后，x=3y的结论仍然成立．

（1）证明：∵PQ切⊙O于P，

∴PN²=NB•NA，

∵NB•NA=NM•NQ，

∴PN²=NM•NQ；

（2）证明：∵PM=MQ=x，MN=y，PN²=NM•NQ，

∴（x-y）²=y（x+y），

整理，得x²=3xy，

∵x≠0，

∴x=3y；

（3）①在图2、图3、图4中（1）题结论都成立．

②在图2中（2）题结论成立．在图3、图4中，按题意改变条件后，x=3y的结论仍然成立．

点评：

本题考点： 圆与圆的位置关系；切割线定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题考查了圆与圆的位置关系，一元二次方程的解法，切割线定理等知识．此题图形比较复杂，但难度不大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．