Question

已知函数f（x）=（x2-a+1）ex．

Answer 1

解题思路：（1）确定切点，求导函数，确定切线斜率，即可得到切线方程；

（2）先确定0＜a≤4，再求得g（x₁）=（x₁²-2x₁-2）e^x₁，利用导数确定g（x₁）的单调性求得最大值

6

e

2

，即可证得结论．

（1）a=2时，f（x）=（x²-1）e^x，f（1）=0，即切点是（1，0）

f′（x）=2xe^x+（x²-1）e^x=（x²+2x-1）e^x，

∴k=f′（1）=2e，即切线斜率k=2e

所以，由点斜式可写出切线方程为：y=2e（x-1），即2ex-y-2e=0

（2）证明：令f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x=0，

∵x₁，x₂为f（x）的两个不同极值点

∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=-a+1

因为|x₁+x₂|≥|x₁x₂|-1，所以2≥|-a+1|-1，所以-2≤a≤4．

又由△＞0得a＞0，所以0＜a≤4，

又由f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x=0，x₁＜x₂，解得x₁=-1-

a

因为0＜a≤4，所以x₁=-1-

a∈[-3，-1）

g（x₁）=f（x₁）+（x₁²-2）e^x₁=（2x₁²-a-1）e^x₁，

又因为x₁=-1-

a，所以a=x₁²+2x₁+1，所以g（x₁）=（x₁²-2x₁-2）e^x₁，所以g′（x₁）=（x₁²-4）e^x₁，

令g′（x₁）=（x₁²-4）e^x₁=0得x₁=-2或2，

在区间[-3，-1）上，g（x₁），g′（x₁）变化状态如下表：

x₁-3 （-3，-2） -2 （-2，-1）

g（x₁） + 0 -

g′（x₁） 增 极大值 减所以当x₁=-2时，g（x₁）取得最大值

6

e2，所以g（x₁）≤

6

e2．

点评：

本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查不等式的证明，综合性强．