Question

有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk （m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m ，并且

Answer 1

（Ⅰ）由题意知a _mn=1+（n-1）d _m．

则a _2n-a _1n=[1+（n-1）d ₂]-[1+（n-1）d ₁]=（n-1）（d ₂-d ₁），

同理，a _3n-a _2n=（n-1）（d ₃-d ₂），a _4n-a _3n=（n-1）（d ₄-d ₃），…，a _nn-a _（n-1）n=（n-1）（d _n-d _n-1）．

又因为a _1n，a _2n，a _3n，a _nn成等差数列，所以a _2n-a _1n=a _3n-a _2n=…=a _nn-a _（n-1）n．

故d ₂-d ₁=d ₃-d ₂=…=d _n-d _n-1，即d _n是公差为d ₂-d ₁的等差数列．

所以，d _m=d ₁+（m-1）（d ₂-d ₁）=（2-m）d ₁+（m-1）d ₂．

令p ₁=2-m，p ₂=m-1，则d _m=p ₁d ₁+p ₂d ₂，此时p ₁+p ₂=1．（4分）

（Ⅱ）当d ₁=1，d ₂=3时，d _m=2m-1（m∈N ^*）．

数列d _m分组如下：（d ₁），（d ₂，d ₃，d ₄），（d ₅，d ₆，d ₇，d ₈，d ₉），．

按分组规律，第m组中有2m-1个奇数，

所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m-1）=m ²个奇数．

注意到前k个奇数的和为1+3+5+…+（2k-1）=k ²，

所以前m ²个奇数的和为（m ²） ²=m ⁴．

即前m组中所有数之和为m ⁴，所以（c _m） ⁴=m ⁴．

因为c _m＞0，所以c _m=m，从而 2 c m d m =(2m-1)• 2 m (m∈ N * ) ．

所以S _n=1•2+3•2 ²+5•2 ³+7•2 ⁴+…+（2n-3）•2 ^n-1+（2n-1）•2 ⁿ.2S _n

=1•2 ²+3•2 ³+5•2 ⁴+…+（2n-3）•2 ⁿ+（2n-1）•2 ⁿ⁺¹．①

故2S _n=2+2•2 ²+2•2 ³+2•2 ⁴+…+2•2 ⁿ-（2n-1）•2 ⁿ⁺¹=2（2+2 ²+2 ³+…+2 ⁿ）-2-（2n-1）•2 ⁿ⁺¹= 2×

2( 2 n -1)

2-1 -2-(2n-1)• 2 n+1 =（3-2n）2 ⁿ⁺¹-6．②

②-①得：S _n=（2n-3）2 ⁿ⁺¹+6．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）得d _n=2n-1（n∈N ^*），S _n=（2n-3）2 ⁿ⁺¹+6（n∈N ^*）．

故不等式

1

50 ( S n -6)＞ d n ，即（2n-3）2 ⁿ⁺¹＞50（2n-1）．

考虑函数f（n）=（2n-3）2 ⁿ⁺¹-50（2n-1）=（2n-3）（2 ⁿ⁺¹-50）-100．

当n=1，2，3，4，5时，都有f（n）＜0，即（2n-3）2 ⁿ⁺¹＜50（2n-1）．

而f（6）=9（128-50）-100=602＞0，

注意到当n≥6时，f（n）单调递增，故有f（n）＞0．

因此当n≥6时，（2n-3）2 ⁿ⁺¹＞50（2n-1）成立，即

1

50 ( S n -6)＞ d n 成立．

所以，满足条件的所有正整数N=6，7，…，20．（14分）