Question

已知椭圆 x 2 9 + y 2 4 =1 内有一点P（2，1），过点P作直线交椭圆于A、B两点．

Answer 1

（1）．设A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），直线AB的斜率为k，

由A、B在椭圆上，得

x 21

9 +

y 21

4 =1①

x 22

9 +

y 22

4 =1②

又∵P（2，1）是AB的中点，∴

x 1 + x 2 =4

y 1 + y 2 =2 ．

由①-②得

( x 1 + x 2 )( x 1 - x 2 )

9 +

( y 1 + y 2 )( y 1 - y 2 )

4 =0 ，

∴k=

y 1 - y 2

x 1 - x 2 =-

8

9 ．

∴直线AB的方程为y-1=-

8

9 （x-2），即8x+9y-25=0；

（2）．当原点O到直线AB的距离取最大值时 满足：OP⊥AB．

∵k _OP=

1

2 ，∴k _AB=-2，

∴直线AB的方程为 y-1=-2（x-2），即2x+y-5=0．

联立方程组

2x+y-5=0

x 2

9 +

y 2

4 =1 得 40x ²-180x+189=0，

设A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），则

x 1 + x 2 =

9

2

x 1 x 2 =

189

40 ，

∴|AB|=

1+ k 2

( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 =

3

2

3 ．

∴S _△AOB=

1

2 |OP||AB|=

3

4

15 ．