Question

设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用|AB|=4，△ABF₂的周长为16，|AF₁|=3|F₁B|，结合椭圆的定义，即可求|AF₂|；

（Ⅱ）设|F₁B|=k（k＞0），则|AF₁|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF₂B=[3/5]，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF₁F₂是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．

（Ⅰ）∵|AB|=4，|AF₁|=3|F₁B|，

∴|AF₁|=3，|F₁B|=1，

∵△ABF₂的周长为16，

∴4a=16，

∴|AF₁|+|AF₂|=2a=8，

∴|AF₂|=5；

（Ⅱ）设|F₁B|=k（k＞0），则|AF₁|=3k，|AB|=4k，

∴|AF₂|=2a-3k，|BF₂|=2a-k

∵cos∠AF₂B=[3/5]，

∴（4k）²=（2a-3k）²+（2a-k）²-[6/5]（2a-3k）（2a-k），

化简可得a=3k，

∴|AF₂|=|AF₁|=3k，|BF₂|=5k

∴|BF₂|²=|AF₂|²+|AB|²，

∴AF₁⊥AF₂，

∴△AF₁F₂是等腰直角三角形，

∴c=

2

2a，

∴e=[c/a]=

2

2．

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质；三角形的面积公式．

考点点评： 本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．