已知函数f(x)=loga[x+b/x−b](a>0,a≠1,b>0).

1个回答

  • 解题思路:(1)根据对数的真数大于0,解关于x的不等式即可得到f(x)的定义域;

    (2)根据函数奇偶性的定义结合对数的运算性质,可证出f(-x)=-f(x),得f(x)为奇函数;

    (3)设b<x1<x2,将f(x1)与f(x2)作差化简整理,可得:当a>1时,f(x1)-f(x2)>0;当0<a<1时,f(x1)-f(x2)<0,由此结合函数单调性的定义即可得到函数在(b,+∞)上的单调性.同理可得函数在区间(-∞,-b)上的单调性,从而得到本题答案.

    (1)因为[x+b/x−b>0,解之得x<-b或x>b,

    ∴函数的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞).…(3分)

    (2)由(1)得f(x)的定义域是关于原点对称的区间

    f(-x)=loga

    −x+b

    −x−b]=loga[x−b/x+b],

    ∵-f(x)=loga([x+b/x−b])-1=loga[x−b/x+b],

    ∴f(-x)=-f(x),可得f(x)为奇函数.…(6分)

    (3)证明:设b<x1<x2,则

    f(x1)-f(x2)=loga

    (x1+b)(x2−b)

    (x2+b)(x1−b),

    (x1+b)(x2−b)

    (x2+b)(x1−b)-1=

    2b(x2−x1)

    (x2+b)(x1−b)>0

    ∴当a>1时,f(x1)-f(x2)>0,可得f(x1)>f(x2),f(x)在(b,+∞)上为减函数;

    当0<a<1时,f(x1)-f(x2)<0,可得f(x1)<f(x2),f(x)在(b,+∞)上为增函数.

    同理可得:当a>1时,f(x)在(-∞,-b)上为减函数;当0<a<1时,f(x)在(-∞,-b)上为增函数.

    综上所述,当a>1时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上为减函数;当0<a<1时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上为增函数.…(12分)

    点评:

    本题考点: 函数单调性的判断与证明;函数的定义域及其求法;函数奇偶性的判断.

    考点点评: 本题给出含有分式的对数形式的函数,求函数的定义域并求函数的单调性、奇偶性.着重考查了函数奇偶性的判断、函数的定义域及其求法和函数单调性的判断与证明等知识,属于基础题.