(2011•张家界模拟)如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,

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  • 解题思路:(1)由已知中PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,我们易得到CD⊥AD,且CD⊥PD,故∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角,解三角形PAD,即可求出∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角的大小.

    (2)取PD的中点E,连接AE,EN,由三角形中位线定理结合已知中M、N分别是AB、PC的中点,我们易证明AE∥MN,结合(1)的结论和等腰三角形性质,根据线面垂直及面面垂直的判定定理,我们可以得到平面MND⊥平面PCD.

    (1)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂PA⊥平面ABCD,

    ∴PA⊥CD,

    又∵四边形ABCD是矩形,

    ∴AD⊥CD

    又∵AD∩PA=A

    ∴CD⊥平面PAD,

    又∵PD⊂平面PAD,

    ∴CD⊥PD

    故∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角,

    又∵在直角三角形PAD中,PA=AD

    ∴∠PDA=45°

    即平面PCD与平面ABCD所成锐二面角为45°

    (2)证明:取PD的中点E,连接AE,EN,如下图所示

    则EN∥CD∥AM,且EN=[1/2]CD=AM

    ∴四边形AMNE为平行四边形,故AE∥MN…①

    由(I)中CD⊥平面PAD,得AE⊥CD

    又∵三角形PAD为等腰直角三角形,

    ∴AE⊥PD

    ∵PD∩CD=D

    ∴AE⊥平面PCD

    由①得:MN⊥平面PCD

    又∵MN⊂平面MND

    ∴平面MND⊥平面PCD.

    点评:

    本题考点: 平面与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.

    考点点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题,求二面角关键问题是要找到二面角的平面角,而证明面面垂直关系是要熟练掌握面面垂直的判定定理及证明步骤.