Question

设F1,F2为双曲线x^2/4 - y^2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足向量PF1*向量PF2=0 则三角形F1

Answer 1

设F1,F2为双曲线x^2/4 - y^2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足向量PF1*向量PF2=0 则三角形F1PF2面积是

a=2,b=1,则c^2=a^2+b^2=5,F1F2=2c

根据定义：|PF1|-|PF2|=2a=4

(|PF1|-|PF2|)^2=4^2=16

|PF1|^2-2|PF1|*|PF2|+|PF2|^2=16

又向量PF1*向量PF2=0,说明PF1与PF2垂直,则有：

PF1^2+PF2^2=F1F2^2=(2c)^2=4c^2=4*5=20

所以有：|PF1|*|PF2|=(20-16)/2=2

那么三角形PF1F2的面积是：S=1/2*PF1*PF2=1/2*2=1