解题思路:(1)先求导,再分离参数,继而求出结果;
(2)利用导数证明函数f(x)-g(x)的最小值大于等于0即可;
(3)构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x),则只需F(x)max>0即可,分m≤0,m>0两种情况讨论,m≤0时可判断函数的符号;m>0时利用导数可得函数的最大值;
(1)函数g(x)=[α/x]+2lnx(α≠0,α∈R)在[[1/2],+∞]上为增函数,
∴g′(x)=-[α
x2+
2/x]≥0在[[1/2],+∞]上恒成立,
即α≤2x在[[1/2],+∞]上恒成立,
∴α≤1,
∴α取值范围为(-∞,1],
(2)由(1)知,当α最大时,α=1,g( x)=[1/x]+2lnx,
设G(x)=f(x)-g(x)=mx-[m−1/x]-[1/x]-2lnx=mx-[m/x]-2lnx,
∴G′(x)=m+[m
x2-
2/x]=
mx2−2x+m
x2,
令G′(x)=0,解得x=
1±
1−m2
m,而1-m2≥0,
又m≥1,
∴m=1,
∴G′(x)=
(x−1)2
x2≥0恒成立,
∴G(x)在[1,+∞)单调递增,
∴G(x)min=G(1)=1-1-0=0,
∴f(x)-g(x)≥0
∴f(x)≥g(x);
(3)构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x),
∴F(x)=mx-[m/x]-2lnx-[2e/x],
当m≤0时,∵x∈[1,e],mx-[m/x]≤0,-2lnx-[2e/x]<0,
∴F(x)<0,即在[1,e]上不存在一个x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立.
当m>0时,F′(x)=
mx2−2x+m+2e
x2
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题主要考查对数函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,函数、方程与不等式等基础知识,一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力,要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想,化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题.