已知函数f(x)=mx-[m−1/x](m∈R),函数g(x)=[α/x]+2lnx(α≠0,α∈R)在[[1/2],+

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  • 解题思路:(1)先求导,再分离参数,继而求出结果;

    (2)利用导数证明函数f(x)-g(x)的最小值大于等于0即可;

    (3)构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x),则只需F(x)max>0即可,分m≤0,m>0两种情况讨论,m≤0时可判断函数的符号;m>0时利用导数可得函数的最大值;

    (1)函数g(x)=[α/x]+2lnx(α≠0,α∈R)在[[1/2],+∞]上为增函数,

    ∴g′(x)=-[α

    x2+

    2/x]≥0在[[1/2],+∞]上恒成立,

    即α≤2x在[[1/2],+∞]上恒成立,

    ∴α≤1,

    ∴α取值范围为(-∞,1],

    (2)由(1)知,当α最大时,α=1,g( x)=[1/x]+2lnx,

    设G(x)=f(x)-g(x)=mx-[m−1/x]-[1/x]-2lnx=mx-[m/x]-2lnx,

    ∴G′(x)=m+[m

    x2-

    2/x]=

    mx2−2x+m

    x2,

    令G′(x)=0,解得x=

    1−m2

    m,而1-m2≥0,

    又m≥1,

    ∴m=1,

    ∴G′(x)=

    (x−1)2

    x2≥0恒成立,

    ∴G(x)在[1,+∞)单调递增,

    ∴G(x)min=G(1)=1-1-0=0,

    ∴f(x)-g(x)≥0

    ∴f(x)≥g(x);

    (3)构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x),

    ∴F(x)=mx-[m/x]-2lnx-[2e/x],

    当m≤0时,∵x∈[1,e],mx-[m/x]≤0,-2lnx-[2e/x]<0,

    ∴F(x)<0,即在[1,e]上不存在一个x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立.

    当m>0时,F′(x)=

    mx2−2x+m+2e

    x2

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题主要考查对数函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,函数、方程与不等式等基础知识,一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力,要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想,化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题.