Question

（本小题满分12分） 如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， 为 边的中点， 与平面 所成的角为45°，且

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为 底面 ，

所以，∠ SBA 是 SB 与平面 ABCD 所成的角…………………1分

由已知∠ SBA =45°，所以 AB = SA =1易求得， AP = PD = ，…………………

3分

又因为 AD =2，所以 AD ²= AP ²+ PD ²，所以 _.…………………4分

因为SA⊥底面ABCD, 平面 ABCD ,

所以 SA ⊥ PD , …………………………………………………………5分

由于 S

A ∩ AP = A 所以 ₀ 平面 SAP ．…………………6分

（Ⅱ）设 Q 为 AD 的中点,连结 PQ

,…………………7分

由于 SA ⊥底面 ABCD ,且 SA

平面 SAD ，

则平面 SAD ⊥平面 PAD …………………8分 _, PQ ⊥平面 SAD ， SD

平面 SAD , _.

过 Q 作 QR

，垂足 为

，连接

，则

.

又

，

， ∠ PRQ 是二面角 A － SD － P 的平面角．…………10分

容易证明△ DRQ ∽△ D

AS ,则

.

因为

，

，

所以

.…………………12分

在Rt△ PRQ 中，因为 PQ = AB =1，

,

所以

. …………………13分

所以二面角 A － SD － P 的余弦为

．…………………