解题思路:①由于(3x-y)+(-x+2y-1)=0对任意实数a恒过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点即可得出结论;
②先对a进行分类讨论:当a=2时,直线为
x=
1
5
,不过第二象限;当a≠2时,a≥2时直线不过第二象限.从而得到结果;
③令x=0和令y=0得到直线在坐标轴上截距,再利用三角形面积公式得到S关于a的函数表达式,最后利用函数的单调性求得其最小值并求此时直线l的方程.
①∵a(3x-y)+(-x+2y-1)=0对任意实数a恒过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点(
1
5,
3
5).
∴直线系恒过第一象限内的定点(
1
5,
3
5).
②当a=2时,直线为x=
1
5,不过第二象限;当a≠2时,直线方程化为y=
3a−1
a−2x−
1
a−2
不过第二象限的充要条件为
3a−1
a−2>0
−
1
a−2≤0⇒a>2
∴a≥2时直线不过第二象限.
③令x=0得y=
−1
a−2
令y=0得x=
1
3a−1∴S=
1
2:(−
1
3a−1)×(−
1
a−2)=
1
2×
1
3a2−7a+2
∵S在a∈[-2,-1]↗∴当a=-2时Smin=
1
56
此时l:7x-4y+1=0
点评:
本题考点: 恒过定点的直线;确定直线位置的几何要素.
考点点评: 本小题主要考查直线的方程、确定直线位置的几何要素、恒过定点的直线等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.