已知直线l:(a-2)y=(3a-1)x-1①求证:无论a为何值时,直线总过第一象限;②为使这条直线不过第二象限,求a的

2个回答

  • 解题思路:①由于(3x-y)+(-x+2y-1)=0对任意实数a恒过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点即可得出结论;

    ②先对a进行分类讨论:当a=2时,直线为

    x=

    1

    5

    ,不过第二象限;当a≠2时,a≥2时直线不过第二象限.从而得到结果;

    ③令x=0和令y=0得到直线在坐标轴上截距,再利用三角形面积公式得到S关于a的函数表达式,最后利用函数的单调性求得其最小值并求此时直线l的方程.

    ①∵a(3x-y)+(-x+2y-1)=0对任意实数a恒过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点(

    1

    5,

    3

    5).

    ∴直线系恒过第一象限内的定点(

    1

    5,

    3

    5).

    ②当a=2时,直线为x=

    1

    5,不过第二象限;当a≠2时,直线方程化为y=

    3a−1

    a−2x−

    1

    a−2

    不过第二象限的充要条件为

    3a−1

    a−2>0

    1

    a−2≤0⇒a>2

    ∴a≥2时直线不过第二象限.

    ③令x=0得y=

    −1

    a−2

    令y=0得x=

    1

    3a−1∴S=

    1

    2:(−

    1

    3a−1)×(−

    1

    a−2)=

    1

    1

    3a2−7a+2

    ∵S在a∈[-2,-1]↗∴当a=-2时Smin=

    1

    56

    此时l:7x-4y+1=0

    点评:

    本题考点: 恒过定点的直线;确定直线位置的几何要素.

    考点点评: 本小题主要考查直线的方程、确定直线位置的几何要素、恒过定点的直线等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.