解题思路：观察可得最简公分母是（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
方程两边同乘（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），
得（x+3）（x+4）+（x+1）（x+4）+（x+1）（x+2）=（x+1）（x+2）（x+3），
∴3x2+15x+18=（x+1）（x+2）（x+3），
∴3（x+2）（x+3）=（x+1）（x+2）（x+3），
∴3（x+2）（x+3）-（x+1）（x+2）（x+3）=0，
∴（x+2）（x+3）（3-x-1）=0，
∴x1=-2，x2=-3，x3=2．
经检验，x1=-2，x2=-3不是原方程的根，x3=2是原方程的根．
故原方程的解为x=2．
故答案为2．
点评：
本题考点： 解分式方程．
考点点评： 本题考查了分式方程的解法．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．注意解分式方程一定要验根．将原方程转化为整式方程以后，运用因式分解法求解是本题的关键．