Question

已知数列{an}前n项的和Sn=an2+bn（a≠0）是数列{an}成等差数列的（　　）

Answer 1

解题思路：求出数列的通项公式，利用等差数列的定义以及充分条件和必要条件进行判断即可．

若S_n=an²+bn（a≠0），

则当n≥2，a_n=S_n-S_n-1=an²+bn-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an+b-a，

当n=1，a₁=S₁=a+b满足a_n=2an+b-a，

此时当n≥2，a_n-a_n-1=2an+b-a-2a（n-1）-b+a=2a为常数，则数列{a_n}成等差数列，即充分性成立，

若a_n=1，满足数列{a_n}成等差数列，但数列{a_n}前n项的S_n=n，不满足S_n=an²+bn（a≠0），即必要不充分条件，

故数列{a_n}前n项的和S_n=an²+bn（a≠0）是数列{a_n}成等差数列的充分不必要条件，

故选：A

点评：

本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据求出等差数列的通项公式是解决本题的关键．