1) 抛物线y^2=2px的焦点F为(p/2,0),准线l为直线x=-p/2
首先,QF+QP要取最小值4,QP要和x轴平行,下面说一下原因：
作一点抛物线上的Q,使PQ∥x轴,再在抛物线上任取一点异于Q点的Q'
过Q、Q'分别作QH,Q'H'⊥l于H、H',由于PQ∥x轴,所以P、Q、H共线
抛物线上任意一点到焦点和到准线的距离相等
所以QF+QP=QH+QP=HP,而Q'F+Q'P=Q'H+Q'P>H'P>HP
所以当PQ∥x轴使,QF+QP才能取到最小值4
也就是说当PH=4,而P的横坐标3,H的横坐标-p/2,所以PH=3-(-p/2)=4
解得p=2,则抛物线的解析式为y^2=4x
2) 把A、B两点代入抛物线解析式,有y1^2=4x1,y2^2=4x2
两式相减,有4(x1-x2)=y1^2-y2^2=(y1+y2)(y1-y2)
即y1+y2=4(x1-x2)/(y1-y2)
由于A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+b上,则(y1-y2)/(x1-x2)=k
代回到上式有y1+y2=4/k
则AB中点M的纵坐标yM=(y1+y2)/2=2/k
由于MD∥抛物线的对称轴,即MD∥x轴,有yD=yM=2/k
由于D在抛物线上,所以xD=yD^2/4=1/(k^2),即D(1/(k^2),2/k)
根据点到直线的距离公式
D(1/(k^2),2/k)到直线kx-y+b=0的距离
即△ABD中BD边上的高DN=|1/(k^2)*k-2/k+b|/√(k^2+(-1)^2)=|b-1/k|/√(k^2+1)
由于已证(y1-y2)/(x1-x2)=k,则有|y1-y2|/|x1-x2|=|k|
已知|y1-y2|=a,则|x1-x2|=|y1-y2|/|k|=a/|k|
再由两点之间距离公式,AB=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)=√((a/k)^2+a^2)=a√(k^2+1)/|k|
所以S△ABD=AB*DN/2=a√(k^2+1)/|k|*|b-1/k|/√(k^2+1)=a*|b/k-1/k^2|