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函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),显然是一个4次方函数.它的定义域是任意实数.该函数在整个实数期间是连续的、处处可导的.
很容易求得方程 f(x)=0 共有且仅有四个解,即函数的图像有4次与x轴相交,交点分别在X轴上的x=0,1,2,3,处.函数是x的4次方函数,当x趋近正负无穷大时,函数值都是正无穷大.因此,在（- ∞,0）和（4,+ ∞）区间,函数的图像都是处于x轴的上方直至正无穷大.
函数的一阶导数就是函数图像上某点的切线直线的斜率.
令函数一阶导数等于0的方程,就是要求函数图像上哪些点的切线的斜率平行于x轴方向的问题,平行于x轴方向的切线斜率为0.
因为4次方函数的一阶导数是一个3次方函数,
又因为原函数图像是连续的处处可导的,它的一阶导数的3次方函数也是连续的处处可导的.
令原函数的一阶导数等于0 的方程是一个3次方方程,它有且仅有3个根.
原函数在与x轴相交的4点之间的三段图像中,每一段必然存在着图像的一个极值点,在该极值点的图像切线的斜率为0、切线平行于x轴.从而可得：
方程 f'(x)=0的3个实根分别在区间（0,1）（1,2）,（2,3）,上.