(2013•衡阳)如图,在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),⊙M经过原点O及点A、B.

1个回答

  • (1)∵∠AOB=90°,

    ∴AB为⊙M的直径,

    ∵A(8,0),B(0,6),

    ∴OA=8,OB=6,

    ∴AB=

    OA2+OB2=10,

    ∴⊙M的半径为5;

    ∵A(8,0),B(0,6),

    ∴圆心M的坐标为(4,3);

    (2)点B作⊙M的切线l交x轴于C,如图,

    ∵BC与⊙M相切,AB为直径,

    ∴AB⊥BC,

    ∴∠ABC=90°,

    ∴∠CBO+∠ABO=∠ABC=90°,

    而∠BAO+∠ABO=90°,

    ∴∠BAO=∠CBO,

    ∴Rt△ABO∽Rt△BCO,

    OB

    OC=

    OA

    OB,即

    6

    OC=

    8

    6,解得OC=

    9

    2,

    ∴C点坐标为(-

    9

    2,0),

    设直线BC的解析式为y=kx+b,

    把B(0,6)、C点(-

    9

    2,0)分别代入

    b=6

    9

    2k+b=0,

    解得

    k=

    4

    3

    b=6,

    ∴直线l的解析式为y=

    4

    3x+6;

    (3)作ND⊥x轴,连结AE,如图,

    ∵∠BOA的平分线交AB于点N,

    ∴△NOD为等腰直角三角形,

    ∴ND=OD,

    ∴ND∥OB,

    ∴△ADN∽△AOB,

    ∴ND:OB=AD:AO,

    ∴ND:6=(8-ND):8,解得ND=

    24

    7,

    ∴OD=

    24

    7,ON=

    2ND=

    24

    2

    7,

    ∴N点坐标为(

    24

    7,

    24

    7);

    ∵△ADN∽△AOB,

    ∴ND:OB=AN:AB,即

    24

    7:6=AN:10,解得AN=

    40

    7,

    ∴BN=10-

    40

    7=

    30

    7,

    ∵∠OBA=∠OEA,∠BOE=∠BAE,

    ∴△BON∽△EAN,

    ∴BN:NE=ON:AN,即

    30

    7:NE=

    24

    2

    7:

    40

    7,解得NE=

    25

    2

    7,

    ∴OE=ON+NE=

    24

    2

    7+

    25

    2

    7=7

    2.