解题思路：首先连接OE，CE，由OE=OD，PE=PF，易得∠OED+∠PEF=∠ODE+∠PFE，又由OD⊥BC，可得OE⊥PE，继而证得PE为⊙O的切线；又由BC是直径，可得OE⊥AB，由切线长定理可得GC=GE，继而证得AG=GE，则可得G为AC的中点；易证得OG是△ABC的中位线，则可得OG∥BE；由于在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，在Rt△POE中，∠P+∠POE=90°，而∠POE不一定等于∠ABC，则可得∠A不一定等于∠P．
连接OE，CE，
∵OE=OD，PE=PF，
∴∠OED=∠ODE，∠PEF=∠PFE，
∵OD⊥BC，
∴∠ODE+∠OFD=90°，
∵∠OFD=∠PFE，
∴∠OED+∠PEF=90°，
即OE⊥PE，
∵点E⊙O上，
∴PE为⊙O的切线；故①正确；
∵BC是直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线，
∴EG=CG，
∴∠GCE=∠GEC，
∵∠GCE+∠A=90°，∠GEC+∠AEG=90°，
∴∠A=∠AEG，
∴AG=EG，
∴AG=CG，
即G为AC的中点；故②正确；
∵OC=OB，
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG∥AB，
即OG∥BE，故③正确；
在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，
在Rt△POE中，∠P+∠POE=90°，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
但∠POE不一定等于∠ABC，
∴∠A不一定等于∠P．故④错误．
故选C．
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 此题考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．