Question

（2006•河池）如图，已知AB为⊙O的直径，⊙O1以OA为直径，⊙O的弦AD交⊙O1于点C，BC⊥OD于点E．

Answer 1

解题思路：（1）连接0₁C，OC，可证得O₁C是△AOD的中位线，利用平行可求得0₁C⊥BC那么BC为⊙O₁的切线；

（2）可利用已知得出△ACO∽△CEO，进而得出[EO/CO]=[CO/AO]，进而求得CO，利用勾股定理求得AC的长．

（1）证明：连接0₁C，OC；

∵AO是⊙O₁的直径，

∴∠ACO=90°，

即OC⊥AD，

∴AC=CD，

∵AO₁=OO₁，

∴O₁C是△AOD的中位线，

∴O₁C∥OD．

∵BC⊥OD，

∴O₁C⊥BC，

∴BC为⊙O₁的切线．

（2）∵OE∥0₁C，

∴[OE

CO1=

OB

BO1=

2/3]，

∴0₁C=3，

∴AO=20₁C=6．

∵BC为⊙O₁的切线，

∴∠BCO=∠A，

∵∠OEC=∠ACO，

∴△ACO∽△CEO，

∴[EO/CO]=[CO/AO]，

∴[2/CO]=[CO/6]，

解得：CO=2

3，

∴AC=

OA2−OC2=2

6．

点评：

本题考点： 切线的判定；圆周角定理．

考点点评： 证明是圆的切线应连接圆心和切点，利用平行证得证半径和直线所夹的角是90；注意使用勾股定理来推理所求线段的长度．