Question

已知过点（0，2）的直线与抛物线y 2 =4x交于不同的两点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），计算 1

Answer 1

若过（0，2）的直线斜率不存在或k=0，则直线与抛物线只有一个交点不满足要求；

若过（0，2）的直线斜率存在且不为0，则可设y=kx+2

又因为A，B两点是直线与抛物线y ²=4x的交点，则

y=kx+2

y 2 =4x

即 y 2 -

4

k y+

8

k =0

∴ y 1 + y 2 =

4

k ，且 y 1 • y 2 =

8

k

∴

1

y 1 +

1

y 2 =

1

2

因为A，B两点是直线与抛物线y ²=2px（p＞0）的交点，则

y=kx+2

y 2 =2px

即 y 2 -

2p

k y+

4p

k =0

∴ y 1 + y 2 =

2p

k ，且 y 1 • y 2 =

4P

k

∴

1

y 1 +

1

y 2 =

1

2 ．

由此归纳推断：过（0，b）的直线与抛物线y ²=mx（m≠0）交于不同的两点A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），则

1

y 1 +

1

y 2 =

1

b ．

故答案为：过（0，2）的直线与抛物线y ²=4x交与不同的两点A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），则

1

y 1 +

1

y 2 =

1

2 （1分）

过（0，2）的直线与抛物线y ²=2px（p＞0）交与不同的两点A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），则

1

y 1 +

1

y 2 =

1

2 （1分）

过（0，b）（b≠0）的直线与抛物线y ²=mx（m≠0）交与不同的两点A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），则

1

y 1 +

1

y 2 =

1

b （1分）