Question

已知函数f（x）=-a2x-2ax+1（a＞1）

Answer 1

解题思路：（1）利用换元法，将函数转化为二次函数，利用函数的单调性，我们可以求出函数f（x）的值域；

（2）利用换元法，将函数转化为二次函数，取得函数的单调性，得到x=a时，函数f（x）取得最小值．利用条件，就可以求a的值．

（1）令t=a^x＞0，∴f（x）=g（t）=-t²-2t+1=-（t+1）²+2

∵t＞0，∴函数在（0，+∞）上单调减

∴g（t）＜1

∴函数f（x）的值域为（-∞，1）

（2）∵a＞1，∴x∈[-2，1]时，t=a^x∈[a^-2，a]，

∵f（x）=g（t）=-t²-2t+1=-（t+1）²+2

∴函数f（x）在[a^-2，a]上单调减

∴x=a时，函数f（x）取得最小值

∵x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，

∴-（a+1）²+2=-7

∴（a+1）²=9

∴a=2或-4（舍去）

所以a=2．

点评：

本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；指数型复合函数的性质及应用；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．

考点点评： 通过换元，转化为二次函数，再研究函数的最值，这是我们处理这类问题常用的方法，应注意换元后，参数的范围．