Question

（2013•南开区一模）已知数列{an}满足a1=1，对一切n∈N*有an＞0，a2n+1−an+1＝2Sn，其中Sn=

Answer 1

解题思路：（I）利用

a

2

n+1

−

a

n+1

＝2

S

n

，n取1，2，3，即可求a₂，a₃，a₄的值；

（II）再写一式，两式相减，确定数列{a_n}是等差数列，即可求数列{a_n}通项公式；

（Ⅲ）确定数列{b_n}的通项，利用裂项法可求T_n的表达式．

（I）n=1时，

a22−a2＝2S1

∵a₁=1，a_n＞0，∴a₂=2

同理可得a₃=3，a₄=4；

（II）∵

a2n+1−an+1＝2Sn，

∴n≥2时，

a2n−an＝2Sn−1

两式相减可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n+1+a_n

∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1（n≥2）

当n=1时，也适合a_n+1-a_n=1

∴数列{a_n}是等差数列，

∴a_n=n；

（Ⅲ）由题意，Sn＝

n(n+1)

2，

∴bn＝

1

Sn=[2

n(n+1)=2（

1/n−

1

n+1]），

∴T_n=2(1−

1

2+

1

2−

1

3+…+

1

n−

1

n+1)=2(1−

1

n+1)=[2n/n+1]．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查等差数列的判定与通项的确定，考查裂项法求数列的和，确定数列的通项是关键．