Question

实数xy满足x+y-2≥0,x+3y-6≤0,x-2≤0则x^2+y^2+2x+2y的最小值

Answer 1

证明x、y大于等于0

∵x+y-2≥0,x+3y-6≤0

∴2-y≤x≤6-3y,2-y≤6-3y,y≤2

∵x-2≤0,x+y-2≥0

∴2-y≤x≤2,y≥0

∵0≤y≤2,x+y-2≥0

∴0≤x≤2

证明x+y与xy的取值范围

∵x+y-2≥0,x+y≥2

又∵x+y≥2√xy

∴2√xy≤2,xy≤1

x²+y²+2x+2y=(x+y)²+2(x+y)-2xy

当x=y=1时,x+y最小,xy最大,原式最小值=4+4-2=6