(1)证明：设A,B坐标分别为(x1,y1) (x2,y2),AP,BP的中点分别是M,N
由于（OA-OP）*（OB-OP）=0,
且向量PA*向量PB=0
则直线PA与直线PB垂直
则有：kPA*kPB=-1
则可得
(y1-y0)/(x1-x0)*(y2-y0)/(x2-x0)=-1
又三点在双曲线上,可得
x1^2-y1^2=a^2--(1),x2^2-y2^2=a^2--(2),x0^2-y0^2=a^2--(3)
(1)-(3)得：(x1-x0)(x1+x0)-(y1-y0)(y1+y0)=0--(4),
(2)-(3)得：(x2+x0)(x2-x0)-(y2+y0)(y2-y0)=0--(5),
由(4)(5)可得:
(x1+x0)=(y1-y0)/(x1-x0)*(y1+y0),
(x2+x0)=(y2-y0)/(x2-x0)*(y2+y0)
所以:联立（OA+OP）*（OB+OP）
=(x1+x0)(x2+x0)+(y1+y0)(y2+y0)
=[(y1-y0)/(x1-x0)]*[(y2-y0)/(x2-x0)]*[(y1+y0)(y2+y0)]+(y1+y0)(y2+y0)
=0
2)设kPA=k,则：kPB=-1/k (k不等于0)
则直线PA：y-y0=k(x-x0),
直线PB：y-y0=(-1/k)(x-x0)
将y-y0=k(x-x0)带入双曲线方程得：
x^2-[k(x-x0)+y0]^2=a^2
化简得：(x-x0)[(1-k^2)x+(k^2+1)x0-2ky0]=0,
于是得到：
|AP|=|[2ky0-(k^2+1)x0]/(1-k^2)-x0|=2|(ky0-x0)/(1-k^2)|
则|AP|^2=(k^2+1)*4(ky0-x0)^2/(1-k^2)^2
同理得到：
|BP|^2=4(1+k^2)(y0+kx0)^2/(1-k^2)^2
所以利用勾股定理得：
|AB|^2=|AP|^2+|BP|^2
=(k^2+1)*4(ky0-x0)^2/(1-k^2)^2+4(1+k^2)(y0+kx0)^2/(1-k^2)^2
=4*(k^2+1)/(1-k^2)^2*[(ky0-x0)^2+(y0+kx0)^2]
=4*[(k^2+1)/(1-k^2)]^2*(x0^2+y0^2)
由于：(k^2+1)/(1-k^2)
=[(k^2-1)+2]/(1-k^2)
=2/(1-k^2)-1
则当k=0时上式取最小值
所以|AB|最小值=2√[x0^2+y0^2]