如图,△ABC是等边三角形,∠DAE=120°,求证:(1)△ABD∽△ECA;(2)BC2=DB•CE.

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  • 解题思路:(1)由△ABC是等边三角形,∠DAE=120°可知∠DAB+∠CAE=60°,再由三角形外角的性质可知∠DAB+∠D=∠ABC=60°,故∠CAE=∠D,再由∠ABC=60°,∠ACB=60°可知,∠ABD=∠ACE=120°,故可得出△ABD∽△ECA;

    (2)由(1)中△ABD∽△ECA可知[AB/CE]=[BD/AC],即AB•AC=BD•CE,故可得出结论.

    证明:(1)∵△ABC是等边三角形,∠DAE=120°,

    ∴∠DAB+∠CAE=60°,

    ∵∠ABC是△ABD的外角,

    ∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°,

    ∴∠CAE=∠D,

    ∵∠ABC=∠ACB=60°,

    ∴∠ABD=∠ACE=120°,

    ∴△ABD∽△ECA;

    (2)∵△ABD∽△ECA,

    ∴[AB/CE]=[BD/AC],即AB•AC=BD•CE,

    ∵AB=AC=BC,

    ∴BC2=BD•CE.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

    考点点评: 本题考查的是相似三角形的判定与性质及三角形外角的性质,根据题意判断出△ABD∽△ECA是解答此题的关键.