Question

已知圆c：（x-1)^2+(y-2)^2=25,直线l：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(1)求证：直线l恒过

Answer 1

（1）直线L整理得到

x+y-4+m(2x+y-7)=0

解方程组

x+y-4=0

2x+y-7=0

得x=3 y=1

直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点(3,1)

（2）将(3,1)代入圆的方程,易知点在圆内.

设圆心到直线L的距离为d,弦长为2t,则满足

t²=r²-d²

要使t有最大值,则d取最小值,当直线过圆心时,d有最小值0,此时m=-1/3

要使t有最小值,则d取最大值

d²=a=(3m+1)^²/(5m²+6m+2)

=(9m²+6m+1)/(5m²+6m+2)

5am²+6am+2a=9m²+6m+1

(5a-9)m²+(6a-6)m+(2a-1)=0

这个方程有解必须

(6a-6)²-4(5a-9)(2a-1)≥0

a²-5a≤0

0≤a≤5

dmax=√5

2t=4√5

将a=5代入(5a-9)m²+(6a-6)m+(2a-1)=0,解得

m=-3/4