1,当关于X的方程ax平方+bx+c=0有一个根为1时,将x=1代入,得a+b+c=0
所以条件的必要性很显然.
下面证明充分性.
即当有a+b+c=0时,关于X的方程ax平方+bx+c=0有一个根为1.
（1）a=0,则此时c=-b
代入得bx-b=0,恒有一根为x=1
（2）a≠0,此时方程为关于x的一元二次方程,△=b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥0,所以方程必有实根.
设两根为x1,x2
则由韦达定理,有x1+x2=-b/a……①,x1x2=c/a……②
②-①得x1(x2-1)-x2=(b+c)/a=-1
即x1(x2-1)=x2-1
当x2-1=0时,x2=1,有一根为1
当x2-1≠0时,x1=1,有一根为1
综上关于X的方程ax平方+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0
2,这个题你打错了吧,比如a=b=1/2时,a^3+b^3-a^2-b^2=-1/4≠0