二元的易证,多元的就有点麻烦了.下面给二元的证明,多元的找本竞赛书看吧.
以下设a、b均为正数（这是为了避免分母为0的情况,否则对一些式子非负数也成立）.
基础的,几何和算术：因(a - b)^2 >= 0,即(a + b)^2 - 4ab >= 0,故a + b >= √(4ab) = 2√(ab).
调和与几何：利用上式,有1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) = 0,故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.
n元的情况,几何与算术可以用归纳法来证,有一点小技巧；也可以做为其他一些不等式的推论,如排序不等式、Cauchy不等式,Jensen不等式等.另几个也是类似的.其中Jensen不等式是关于凸函数性质的,证明要用到高等数学,不过比较广泛,上面的几个不等式好像都可以用它推出来.要看初等的证明方法还是看竞赛书吧
调和:2 / (1/a + 1/b) = 2ab/(a+b)
2ab/(a+b) 和a同乘a+b 然后可以得到 a^2+a