Question

（2009•天河区一模）根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，xn，…，x2008；y1，

Answer 1

解题思路：（1）由框图，知数列x_n中，x₁=1，x_n+1=x_n+2，由此能导出x_n．

（2）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80．由此，猜想y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2008）．然后构造成等比数列进行证明．

（3）z_n=x₁y₁+x₂y₂++x_ny_n=1×（3-1）+3×（3²-1）+5×（3³-1）++（2n-1）×（3ⁿ-1）=1×3+3×3²+5×3³++（2n-1）×3ⁿ-（1+3+5++2n-1）然后用错位相减法进行求解．

（1）由框图，知数列x_n中，x₁=1，x_n+1=x_n+2

∴x_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*，n≤2008）（4分）

（2）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80

由此，猜想y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2008）．

证明：由框图，知数列y_n中，y_n+1=3y_n+2，

∴y_n+1+1=3（y_n+1）

∴

yn+1+1

yn+1＝3，y1+1＝3．

∴数列y_n+1是以3为首项，3为公比的等比数列．

∴y_n+1=3ⁿ，

∴y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2008）；（9分）

（3）z_n=x₁y₁+x₂y₂++x_ny_n=1×（3-1）+3×（3²-1）+5×（3³-1）++（2n-1）×（3ⁿ-1）

=1×3+3×3²+5×3³++（2n-1）×3ⁿ-（1+3+5++2n-1）

记S_n=1×3+3×3²+5×3³++（2n-1）×3ⁿ①

则3S_n=1×3²+3×3³+5×3⁴++（2n-1）×3ⁿ⁺¹②

①-②，得-2S_n=3+2×3²+2×3³+2×3⁴++2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹−2Sn＝

3(1−3n)

1−3−3−(2n−1)3n+1

∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3，

又1+3+5++2n-1=n²

∴z_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3-n²（n∈N^*，n≤2008）．（14分）

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和；循环结构．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意错位相减法和构造法的灵活运用．